Oscilador Harmônico Simples

Nícolas Morazotti

2025/01/28 Ter

Exemplos

Relógio de pêndulo

\(T=2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}\)

Circuitos RLC

rlc.png

Ponte do Estreito de Tacoma

Oscilações resultam do fenômeno flutter aeroelástico. Billah, K.; R. Scanlan (1991).

O movimento harmônico simples

Sistema

ohs.png

Sistema

  • \(F = ma = -kx\)

ohs-off.png

Sistema

  • \(F = ma = -kx\)
  • \( m\ddot{x} + kx = 0 \)
  • \(\ddot{x} + \frac{k}{m}x= 0\)

Sistema linear

\(\ddot{x} + \frac{k}{m}x= 0\)
Se \(x_1\), \(x_2\) são soluções, então

Sistema linear

\(\ddot{x} + \frac{k}{m}x= 0\)
Se \(x_1\), \(x_2\) são soluções, então

\(\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{dt}^2}(ax_1 + bx_2) + \frac{k}{m}(ax_1 + bx_2)\)

Sistema linear

\(\ddot{x} + \frac{k}{m}x= 0\)
Se \(x_1\), \(x_2\) são soluções, então

\(=a\left( \ddot{x}_1 + \frac{k}{m}x_1 \right) + b \left( \ddot{x}_2 + \frac{k}{m}x_2 \right) \)

Sistema linear

\(\ddot{x} + \frac{k}{m}x= 0\)
Se \(x_1\), \(x_2\) são soluções, então

\(=a\underbrace{\left( \ddot{x}_1 + \frac{k}{m}x_1 \right)}_{\equiv 0} + b \underbrace{\left( \ddot{x}_2 + \frac{k}{m}x_2 \right)}_{\equiv 0} \)

Sistema linear

\(\ddot{x} + \frac{k}{m}x= 0\)
Se \(x_1\), \(x_2\) são soluções, então

\(\equiv 0\)

Solução

\(\ddot{x} + \frac{k}{m}x= 0\)

\(x(t) = \cos(rt)\) é uma possível solução para \(\ddot{x} = cx\), a encontrar \(c\). Da mesma maneira, \(x(t) = \sin(rt)\) também é uma solução.

\(\implies x(t) = \alpha\cos(rt) + \beta\sin(rt)\)

\(x(t) = \alpha\cos(rt) + \beta\sin(rt)\)

\(x(t) = \alpha\cos(rt) + \beta\sin(rt)\)

Diferenciando \(x(t)\),

\(\dot{x}(t) = -\alpha r\sin(rt) + \beta r\cos(rt)\)

\(x(t) = \alpha \cos(rt) + \beta \sin(rt)\)

Diferenciando \(x(t)\),

\(\ddot{x}(t) = -\alpha r^2\cos(rt) - \beta r^2\sin(rt) = -r^2x(t)\)

\(x(t) = \alpha \cos(rt) + \beta \sin(rt)\)

Diferenciando \(x(t)\),

\(-r^2 x(t) = -\frac{k}{m}x(t)\)

\(x(t) = \alpha \cos(rt) + \beta \sin(rt)\)

Diferenciando \(x(t)\),

\(r = \sqrt{\frac{k}{m}} \equiv \omega\)

\(x(t) = \alpha \cos(\omega t) + \beta \sin(\omega t)\)

Constantes do sistema

Frequência

A constante \(\omega\) é chamada de frequência natural de oscilação.

\begin{align*} \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \end{align*}

Depende somente de propriedades da massa e da mola.

Frequência

O movimento é dito harmônico quando a frequência não depende do tempo. Uma mola muito distendida ou um pêndulo que inicia numa posição muito alta descrevem movimentos oscilatórios, mas não harmônicos.

Período

\begin{align*} x \left( t+\frac{2\pi}{\omega} \right) &= \alpha\cos(\omega t + 2\pi) + \beta\sin(\omega t + 2\pi)\\ &= \alpha\cos(\omega t) + \beta\sin(\omega t) = x(t) \end{align*}

\(T\equiv \frac{2\pi}{\omega}\) é chamado de período de oscilação, e é o tempo que a massa leva entre chegar na mesma posição com mesma velocidade.

x_ampli_phase.png

x_change_freq.png

Constantes arbitrárias

Para identificar \(\alpha \) e \(\beta \), precisamos das condições iniciais. Segunda ordem \(\leftrightarrow\) duas condições.

Constantes arbitrárias

Sejam \(x(0) = x_0\), \(\dot{x}(0) = v_0\).

\(x(t) = \alpha \cos(\omega t) + \beta \sin(\omega t)\)

Constantes arbitrárias

Sejam \(x(0) = x_0\), \(\dot{x}(0) = v_0\).

\(x(0) = \alpha \cos(\omega 0) + \beta \sin(\omega 0)\)

Constantes arbitrárias

Sejam \(x(0) = x_0\), \(\dot{x}(0) = v_0\).

\(x_0 = \alpha \)

Constantes arbitrárias

Sejam \(x(0) = x_0\), \(\dot{x}(0) = v_0\).

\(\dot{x}(t) = -\omega \alpha \sin(\omega t) + \omega \beta \cos(\omega t)\)

Constantes arbitrárias

Sejam \(x(0) = x_0\), \(\dot{x}(0) = v_0\).

\(\dot{x}(0) = -\omega \alpha \sin(\omega 0) + \omega \beta \cos(\omega 0)\)

Constantes arbitrárias

Sejam \(x(0) = x_0\), \(\dot{x}(0) = v_0\).

\(v_0 = \omega \beta\)

\(x(t) = x_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t)\)

Expressão alternativa

Amplitude e Fase

Há uma maneira mais instrutiva e compacta de escrever a solução.

\(x(t) = \alpha \cos(\omega t) + \beta \sin(\omega t)\)

Amplitude e Fase

\(x(t) = \alpha \cos(\omega t) + \beta \sin(\omega t)\)

Amplitude e Fase

\(x(t) = \frac{\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}}{\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}}\cdot\left[ \alpha \cos(\omega t) + \beta \sin(\omega t) \right]\)

Amplitude e Fase

\(x(t) = \underbrace{\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}}_{\equiv A} \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} \cos(\omega t) + \frac{\beta}{\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}} \sin(\omega t) \right]\)

Amplitude e Fase

\(x(t) = A \left[ \frac{\alpha}{A} \cos(\omega t) + \frac{\beta}{A} \sin(\omega t) \right]\)

Amplitude e Fase

\(x(t) = A \left[ \frac{\alpha}{A} \cos(\omega t) + \frac{\beta}{A} \sin(\omega t) \right]\)

\(\left( \frac{\alpha}{A} \right)^2 + \left( \frac{\beta}{A} \right)^2 = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{A^2} \equiv 1\)

\(\frac{\alpha}{A} = \cos(\varphi),\frac{\beta}{A} = -\sin(\varphi)\)

Amplitude e Fase

\(x(t) = A \left[ \cos(\varphi) \cos(\omega t) - \sin(\varphi) \sin(\omega t) \right]\)

Amplitude e Fase

\(x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)\)

\(x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)\)

x_ampli_phase.png

\(x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)\)

\(A\) é chamada de amplitude.

x_change_ampli.png

\(x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)\)

\(\varphi\) é chamada de fase.

x_change_phase.png

Energia do sistema

\(x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\)

Podemos calcular a energia do sistema como

\begin{align*} E = \frac{m\dot{x}^2}{2} + \frac{kx^2}{2} \end{align*}

\(x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\)

Podemos calcular a energia do sistema como

\begin{align*} \omega^2 &= \frac{k}{m} \implies k = m\omega^2\\ E &= \frac{m\dot{x}^2}{2} + \frac{m\omega^2x^2}{2} \end{align*}

\(x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\)

Podemos calcular a energia do sistema como

\begin{align*} E &= \frac{m\dot{x}^2}{2} + \frac{m\omega^2x^2}{2}\\ \dot{x}(t) &= -A\omega\sin(\omega t + \varphi) \end{align*}

\(x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\)

Podemos calcular a energia do sistema como

\(E = \frac{m}{2}[-A\omega\sin(\omega t+\varphi)]^2 + \frac{m\omega^2}{2}[A\cos(\omega t + \varphi)]^2\)

\(x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\)

Podemos calcular a energia do sistema como

\begin{align*} E = \frac{m\omega^2A^2}{2} [\sin^2(\omega t+\varphi) + \cos^2(\omega t + \varphi)] \end{align*}

\(x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\)

Podemos calcular a energia do sistema como

\begin{align*} E = \frac{m\omega^2A^2}{2}. \end{align*}

\(E = \frac{m\omega^2A^2}{2}\)

Como \(A^2 = x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}\), concluímos que

\begin{align*} E = \frac{mv_0^2}{2}+ \frac{m\omega^2x_0^2}{2} \end{align*}

\(\implies\) a energia se conserva.

Energia do oscilador harmônico

energy.png

Pêndulo inextensível

Pêndulo inextensível

pendulum_nof.png

Pêndulo inextensível

pendulum.png

Pêndulo inextensível

A tensão equilibra a componente radial da força:

\begin{align*} T = mg\cos\theta \end{align*}

Pêndulo inextensível

A componente perpendicular é a força resultante:

\begin{align*} ma = -mg\sin\theta \end{align*}

Pêndulo inextensível

A componente perpendicular é a força resultante:

\begin{align*} m\ell\ddot{\theta} = -mg\sin\theta \end{align*}

Pêndulo inextensível

Para pequenos ângulos, \(\sin\theta\approx\theta\)

\begin{align*} \ddot{\theta} + \frac{g}{\ell}\theta = 0 \end{align*}

Equivalente a

\begin{align*} \ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0 \end{align*}

Pêndulo inextensível

Solução harmônica!

\begin{align*} \theta(t) &= A \cos(\omega t + \varphi)\\ \omega &= \sqrt{\frac{g}{\ell}}, T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \end{align*}

Pêndulo inextensível

Solução aproximada boa para ângulos pequenos!

nonlinear_pendulum_close.png

Pêndulo inextensível

Solução exata diferere para ângulos grandes!

nonlinear_pendulum_far.png

Pêndulo inextensível

Solução exata diferere para ângulos grandes!

nonlinear_pendulum_upsidedown.png

Pêndulo inextensível

Solução exata diferere para ângulos grandes!