Momento de Inércia

Prof. Nícolas Morazotti

nicolas.morazotti@gmail.com

Introdução

Hoje não teremos vídeo do Universo Mecânico 😢

Corpos rígidos

Corresponde a um conceito limite ideal
Corpo indeformável
Distância entre duas partículas do corpo é constante ao longo do movimento
Nenhum corpo é perfeitamente rígido

Corpos rígidos em Translação

Diz-se que o movimento de um corpo rígido é de translação quando a direção de qualquer segmento que une dois pontos não se altera durante o movimento

Corpos rígidos em Translação

Todos os pontos sofrem o mesmo deslocamento no mesmo intervalo de tempo
Velocidade e aceleração de translação de um corpo rígido
Movimento é equivalente ao de um ponto material

Corpos rígidos em Rotação

Em contrapartida, podemos, em vez disso, fixarmos dois pontos \(A\) e \(B\) de um corpo rígido, bem como todos os pontos da reta que passa por ambos
Pontos fora de reta têm de manter sua distância a tal eixo constante
\(\overline{AB}\) é chamado eixo de rotação: todas as partículas descrevem círclos com centro em tal eixo
Giram ângulos iguais em mesmo intervalo de tempo

Corpos rígidos em Rotação

Rotação de um corpo rígido: ponto material se move circularmente ao redor do eixo de rotação
Única coordenada: ângulo de rotação

Translação e Rotação de Corpos Rígidos

Translação de Corpos Rígidos

Por terem a mesma velocidade \(v\) de translação, definimos o momentum \(p\) do sistema como \(p = Mv\)
\(2^{\text{a}}\) lei de Newton:
- \(F = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = Ma\)

Translação de Corpos Rígidos

\(F = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = Ma\)
Massa \(M\): inércia \(\to\) dificuldade para alterar a quantidade de movimento do corpo
Quanto maior a massa, maior a força necessária para acelerá-lo

Rotação de Corpos Rígidos

Para descrever o movimento de rotação, descrevemos um raciocínio análogo
Da mesma maneira que tínhamos uma dada velocidade \(v\) para a translação, teremos uma velocidade angular \(\omega\) para a rotação
No caso de rotação, as velocidades \(v_i\) são distintas

Rotação de Corpos Rígidos

Associa-se a um corpo em rotação uma "quantidade de movimento angular" - formalmente chamada de momentum angular \(L\)
\(L = I\omega\)
\(I\) é seu momento de inércia

Rotação de Corpos Rígidos

Por analogia,
- \(\tau = \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=I\alpha\)
\(\tau\) é o torque, \(\alpha\) é a aceleração angular

Rotação de Corpos Rígidos

As representações da \(2^{\text{a}}\) lei de Newton para um corpo rígido em translação e rotação são matematicamente equivalentes
Assim como \(M \leftrightarrow\) dificuldade de alterar \(p\), \(I \leftrightarrow\) dificuldade de alterar \(L\)

Relações de grandezas

Grandeza	Translação	Rotação
Inércia	\(M\)	\(I\)
Deslocamento	\(s=r\theta\)	\(\theta\)
Velocidade	\(v=r\omega\)	\(\omega\)
Aceleração	\(a=r\alpha\)	\(\alpha\)
Momentum	\(p=mv\)	\(L=I\omega\)
\(2^{\text{a}}\) lei de Newton	\(F = \dot{p}\)	\(\tau = \dot{L}\)

Cálculo do Momento de Inércia

\(I\): caso discreto

No caso em que o corpo é constituído de \(N\) partículas, temos

\begin{align*} I = \sum_{i=1}^N m_ir^2_i \end{align*}

\(I\): caso contínuo

Em contrapartida, para um corpo contínuo, a expressão anterior se torna um limite do contínuo:

\begin{align*} I = \int r^2 \mathrm{d}m \end{align*}

O momento de inércia passa a depender da geometria do corpo em questão.

\(I\): caso contínuo

Em geral, os momentos de inércia são difíceis de se calcular para figuras não regulares, mas têm a forma

\begin{align*} I &= CMr^2 \end{align*}
\(C\) depende da geometria do corpo

Teorema de Steiner

A definição a partir da integral é sempre válida, mas difícil de se calcular, principalmente em relação a eixos arbitrários.
Para isso, contamos com o Teorema dos Eixos Paralelos.

Teorema de Steiner

Se conhecemos o momento de inércia \(I_{cm}\) de um eixo que passa pelo centro de massa, o momento de inércia em relação a um eixo paralelo pode ser calculado

Teorema de Steiner

\begin{align*} I = I_{cm} + M\ell^2 \end{align*}

Objetivos do Módulo 3

Determinar experimentalmente o momento de inércia de corpos com geometrias regulares e irregulares

Objetivos do Módulo 3

Determinar experimentalmente o momento de inércia de corpos com geometrias regulares e irregulares
Determinar experimentalmente a constante adimensional \(C\) para corpos de geometria regular e compará-la com a previsão teórica para a geometria esperada

Objetivos do Módulo 3

Determinar experimentalmente o momento de inércia de corpos com geometrias regulares e irregulares
Determinar experimentalmente a constante adimensional \(C\) para corpos de geometria regular e compará-la com a previsão teórica para a geometria esperada
Validação do método experimental empregado visando a determinação do momento de inércia de corpos com formatos arbitrários

Objetivos do Módulo 3

Equipamentos disponíveis

Suporte para equilíbrio de corpos
Corpos com diferentes massas e geometrias
Trena
Paquímetro analógico
Micrômetro analógico
Cronômetro digital
Balança digital de precisão
Tripé para filmagem

Sistema girante

O pêndulo físico

Pêndulo físico de massa \(m\), momento de inércia \(I\) ao redor do pivô \(O\)
Centro de massa está a \(\ell\) de \(O\)
Quando oscila, deslocamento dado pelo ângulo \(\theta\)

O pêndulo físico

Na posição indicada pela figura, torque restaurador \(\tau\)
- \(\tau = r_{\perp} F = -\ell [mg\sin(\theta)]\)
Direção positiva se afasta da vertical

O pêndulo físico

\(\tau = r_{\perp} F = -\ell [mg\sin(\theta)]\)
\(2^{\text{a}}\) lei de Newton para rotações:
- \(\tau_R = \dot{L} = I\alpha = I \frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\)

O pêndulo físico

Unimos as equações

\(\tau = r_{\perp} F = -\ell [mg\sin(\theta)]\)
\(\tau_R = \dot{L} = I\alpha = I \frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\) em
\(I \ddot{\theta} = - mg\ell \sin(\theta)\)

O pêndulo físico

\(I \ddot{\theta} = - mg\ell \sin(\theta)\)
\(I \ddot{\theta} + mg\ell \sin(\theta) = 0\)
\(\ddot{\theta} + \frac{mg\ell}{I} \sin(\theta) = 0\)
⚠️ COMPLICADO ⚠️

O pêndulo físico

\(\ddot{\theta} + \frac{mg\ell}{I} \sin(\theta) = 0\)

As soluções exatas dessa equação vêm de uma coisa chamada integral elíptica

Por sorte, podemos utilizar a expansão
- \(\sin(\theta)=\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots\)

O pêndulo físico

\(\sin(\theta)\approx\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\dots\)

O pêndulo físico

Com a aproximação \(\sin(\theta)\approx\theta\), para \(\theta<6^{\circ}\), temos

\(\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} + \omega_0^2\theta = 0\)
\(\omega_{0} = \sqrt{\frac{mg\ell}{I}}\)
\(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\)
\(T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mg\ell}}\)

O pêndulo físico

Equação de movimento

\(\theta(t) = \theta_0\cos(\omega_0t+\phi)\)

O pêndulo físico

Equação de movimento

\(\theta(t) = \theta_0\cos(\omega_0t+\phi)\)

Solução harmônica, movimento de período \(T = 2\pi/\omega_0\)
Uma análise mais realista mostra que a amplitude \(\theta_0\) é mantida constante durante um breve período de tempo de oscilação
Há dissipação de energia durante o movimento

O pêndulo físico

Equação de movimento

\(\theta(t) = \theta_0 e^{-\frac{\gamma}{2}t} \cos(\omega't+\phi)\)

\(\gamma\) denota perdas por atrito
\(\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{4}}\) é a frequência amortecida
Se \(\gamma\) é muito pequeno \(10^{-4}\), \(\omega'\approx\omega_0\)

O pêndulo físico - baixo amortecimento

Equação de movimento

\(\theta(t) = \theta_0 e^{-\frac{\gamma}{2}t} \cos(\omega_{0}t+\phi)\)

A partir da determinação do período de oscilação, pode-se determinar experimentalmente o momento de inércia do corpo no eixo de rotação do pivô:

\begin{align*} I= \frac{mg\ell T^{2}}{4\pi^2} \end{align*}
Teorema de Steiner: \[I_{CM} = m\ell^2 \left( \frac{gT^2}{4\pi^2\ell}-1 \right)\]

O pêndulo físico - baixo amortecimento

Equação de movimento

\(\theta(t) = \theta_0 e^{-\frac{\gamma}{2}t} \cos(\omega_{0}t+\phi)\)

Teorema de Steiner: \[I_{CM} = m\ell^2 \left( \frac{gT^2}{4\pi^2\ell}-1 \right)\]